這是湖南懷化2021年中考數(shù)學(xué)的填空壓軸題，是一道即學(xué)即用的規(guī)律題。老黃特別喜歡這樣的題目，因?yàn)檫@種題對(duì)當(dāng)年還是學(xué)生時(shí)期的老黃來(lái)說(shuō)，完全就是一種送分題，老黃特別善于解決這類問(wèn)題。而且這種題還總是能讓人從中感受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，體驗(yàn)到了解到一個(gè)新的知識(shí)的快感。
觀察等式，2+2^2=2^3-2，2+2^2+2^3=2^4-2， 2+2^2+2^3+2^4=2^5-2，…， 已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2^100，2^101，2^102，…，2^199，若2^100=m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是_______。
分析：我們可以用一個(gè)符號(hào)Sn來(lái)統(tǒng)一表示這一系列的等式，就是記Sn=2+2^2+2^3+…+2^n，則Sn=2^(n+1)-2，
而要求的和其實(shí)就是S199-S99=2^200-2^100。其中2^100=m，而2^200=(2^100)^2=m^2，因此最后的答案是m^2-m. 怎么樣，是不是很簡(jiǎn)單啊。
有些人總說(shuō)老黃最大的“本事”，就是能將簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化，胡說(shuō)八道一通。老黃承認(rèn)，的確什么也不會(huì)，就有這么點(diǎn)本事。正常人到這里就不會(huì)再繼續(xù)思考探究了。只有像大笨蛋老黃這樣的人，才會(huì)繼續(xù)思考下去，那些才是真正能學(xué)得好數(shù)學(xué)的聰明人。老黃是想說(shuō)，笨人和聰明人都是同樣可以學(xué)好數(shù)學(xué)的，因?yàn)樽毂浚哉f(shuō)話可能不搭邊界，莫怪。
現(xiàn)在老黃感興趣的是，題目中這一連串的等式是怎么來(lái)的？其實(shí)很簡(jiǎn)單，這是求等比數(shù)列2，2^2，2^3，…，2^n的前n項(xiàng)和的公式演變出來(lái)的。問(wèn)題是初中生并沒(méi)有學(xué)過(guò)等比數(shù)列的知識(shí)啊。老黃經(jīng)常說(shuō)，真正讀書(shū)學(xué)習(xí)，就不是說(shuō)只學(xué)習(xí)課本上的知識(shí)就夠了，像等比數(shù)列那么簡(jiǎn)單的知識(shí)，初中生就應(yīng)該自己通過(guò)課外學(xué)習(xí)把它掌握起來(lái)的。甚至小學(xué)生在做奧數(shù)時(shí)，都有可能已經(jīng)把等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)融入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中了。
等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首項(xiàng)，這里是2，q是公比，這里也是2，因此Sn=2×(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2. 這不就得到這一系列等式的統(tǒng)一模式了嗎?
就算真的沒(méi)有學(xué)過(guò)等比數(shù)列的知識(shí)，不知道怎么求前n項(xiàng)和，也可以用代數(shù)的構(gòu)造法推出這個(gè)式子，只是過(guò)程有點(diǎn)繁瑣，但卻又有規(guī)律，對(duì)于有強(qiáng)迫癥的學(xué)生來(lái)說(shuō)，會(huì)感到特別解壓，推導(dǎo)過(guò)程如下：
Sn=2+2^2+2^3+…+2^n=2+2+2^2+2^3+…+2^n-2=2×2+2^2+2^3+…+2^n-2=2^2+2^2+2^3+…+2^n-2=2×2^2+2^3+2^4+…+2^n-2=2^3+2^3+2^4+…+2^n-2=2×2^3+2^4+2^5+…+2^n-2=2^4+2^4+2^5+…+2^n-2=…=2×2^n-2=2^(n+1)-2.
現(xiàn)在你是不是徹底理解這道題了呢？下回碰到類似的題目能夠輕松解決了嗎？如果還有困難，沒(méi)有關(guān)系，再多找找一些類型題，每題都要把它理解透徹，最后肯定可以徹底征服它們的，只不過(guò)是時(shí)間問(wèn)題罷了。
