昵稱為“蘇”的讀者朋友留言問(wèn)到：
左老師，立體幾何求二面角平面角時(shí)怎樣判斷是鈍角還是銳角？難道只能目測(cè)？
蘇，
現(xiàn)在用空間向量法求二面角，的確有這樣的問(wèn)題.
以前用幾何法求解二面角的大小，因?yàn)槟軐?shí)際找到它的平面角，所以不存在這樣的問(wèn)題.
這就為我們提供了一種思路：是否能把幾何法和向量法結(jié)合起來(lái)，進(jìn)而確定這個(gè)平面角？
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思路1：研究棱的法向量
如圖，求二面角α-l-β的大小，我們可以從定義入手.
在二面角的棱l上取兩點(diǎn)A、B，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做向量AC、向量BD，且使得AC垂直于棱l，BD垂直于棱l.
這樣，二面角的大小就等于向量AC與向量BD的夾角.
這個(gè)方法的好處就是，向量的方向已經(jīng)固定好了.
當(dāng)然，這兩個(gè)向量同時(shí)背向棱，我們選取兩個(gè)同時(shí)指向棱的向量也可以.
看栗子.
如上圖，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.
在半平面CAD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作CF垂直于AD，垂足為點(diǎn)F.
在半平面EAD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于AD，垂足為點(diǎn)G.
下面求出向量CF和向量EG的坐標(biāo)，然后求兩向量的數(shù)量積，再求兩向量的夾角，這個(gè)角的大小就是二面角大小.
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思路2：向量外積和右手定則
回到用法向量求解二面角的思路上來(lái).
從上圖能夠看出，如果兩個(gè)法向量的同時(shí)進(jìn)入或穿出二面角，則它們的夾角與二面角的平面角互補(bǔ).
如果一個(gè)法向量進(jìn)入二面角，一個(gè)法向量穿出二面角，則它們的夾角與二面角的平面角相等.
概括起來(lái)就是——同進(jìn)同出角互補(bǔ)，一進(jìn)一出角相等.
所以，問(wèn)題的本質(zhì)就是——判斷法向量的方向，是進(jìn)入二面角還是穿出二面角.
為此，我們需要學(xué)習(xí)一點(diǎn)向量外積的知識(shí).
教材里所講的向量數(shù)量積，也稱為向量的點(diǎn)乘，又稱為向量的內(nèi)積.
向量外積是另外一種運(yùn)算.
有興趣的教師朋友或特別出色的同學(xué)可以找相關(guān)資料進(jìn)行學(xué)習(xí).
目前的命題趨勢(shì)是，求二面角大小時(shí)一般要求其正弦值，以避免不必要的爭(zhēng)議.
