本文將梳理平行四邊形的性質(zhì)，并且圍繞平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明，同時解決平行四邊形背景下的面積計算。
1、平行四邊形的定義：
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
2、平行四邊形的性質(zhì)定理：
平行的四邊形的對邊相等；
平行四邊形的對角相等；
平行四邊形的對角線互相平分；
平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)。
3、平行線的距離：
兩條平行線中一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的就距離；
兩平行線的距離處處相等；夾在兩平行線間的平行線段相等。
1、與角相關(guān)的證明與計算：
① 已知，平行四邊形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )
A、1:2:3:4；B、3:4:4:3；
C、3:3:4:4 ；D、3:4:3:4.
解析：平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)。因此，角之間的關(guān)系是∠A=∠C；∠B=∠D，由此可見，D選項正確。
② 在平行四邊形ABCD中，如果AB=8，AD、BC之間的距離為4，求∠A度數(shù)。
解析：本題有兩種情況，當(dāng)∠A為銳角時，如圖1，此時∠A=30°；當(dāng)∠A為鈍角時，如圖2，此時∠B=30°，∠A=150°，綜上，∠A=30°或150°。
③ 在平行四邊形ABCD的一個銳角向?qū)呑鲀蓷l高，如果兩條高的夾角為135°，求平行四邊形各個內(nèi)角的度數(shù)。
解析：本題需要根據(jù)題意畫出圖形，利用幾組幾組相等的內(nèi)錯角以及同角的余角相等，求出平行四邊形各個內(nèi)角的度數(shù)。
2、與邊相關(guān)的證明與計算：
① 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，AM=DM，
求證：(1) AE=AB；(2)如果BM平分∠ABC，求證:BM⊥CE.
解析：平行四邊形+角平分線，往往會出現(xiàn)等腰三角形。本題的第2問可以通過證明▲AEM為等腰三角形，利用三線合一來證明BM⊥CE；也可以利用AB=AE=AM，利用角之間的關(guān)系證明BM⊥CE.
② 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，DF⊥BC，垂足為F.
求證：∠AED=∠EFB.
解析：本題根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，既可以利用倍長中線法證明，也可以構(gòu)造中位線證明。
3、與對角線相關(guān)的證明與計算：
① 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線交AD,CB的延長線于點(diǎn)E、F。請找出圖中所有的全等三角形。
② 在周長為20厘米的平行四邊形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于點(diǎn)E，則▲ABE的周長為多少？
解析：利用OE是BD的垂直平分線，得到BE=DE，將▲ABE的周長轉(zhuǎn)化為AB+AD.
補(bǔ)充：若BC>AB，則▲BOC與▲AOB的周長差為(BO+OC+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB。
4、與底角平分線相關(guān)的證明與計算：
在平行四邊形中，做一個角的角平分線就會產(chǎn)生等腰三角形；特別地，如果做兩個同旁內(nèi)角的角平分線就會產(chǎn)生垂直。
① 平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別分BC成5厘米和3厘米兩段，則這個平行四邊形的周長為多少？
解析：畫圖后進(jìn)行分類討論，利用平行+角平分線→等腰三角形。這三者之間存在互推的關(guān)系（已知2→1）。
① 平行四邊形ABCD中，AB=8，∠C=60°，∠A的平分線與∠B的平分線相交于點(diǎn)E，EF⊥AB，求EF的長.
解析：利用同旁內(nèi)角角平分線互相垂直以及30°角的性質(zhì)求解。
1、基本圖形中的面積關(guān)系：
2、平行四邊形背景下與面積相關(guān)的問題：
① 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在DC延長線上，聯(lián)結(jié)AF交BC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BF,DE，求證：S▲ADE=S▲BAF.
解析：要證明▲ADE的面積=▲BAF的面積，從圖中可以看出這兩個三角形的面積都等于平行四邊形面積的一半，所以結(jié)論可證。
② 如圖1，E為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，試探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面積之間的關(guān)系；如圖2，E在平行四邊形ABCD邊CD所在直線上方，試探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面積之間的關(guān)系.
解析：借由前面的解題思路，通過過點(diǎn)E作垂線，計算四個三角形的面積，用平行四邊形的邊長表示相應(yīng)的面積。
③如圖，設(shè)P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB，AD的平行線交平行四邊形的四邊于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若四邊形AHPE的面積為3，若四邊形PFCG的面積為5，求▲PBD的面積為多少？
解析：利用面積的和差以及相等的三角形面積進(jìn)行計算。
